El escurridizo «Einstein» resuelve un viejo problema matemático
El pasado mes de noviembre, tras una década de intentos fallidos, David Smith, an autodenominado aficionado a las formas de Bridlingtonin East Yorkshire (Inglaterra), sospechó que podría haber resuelto por fin un problema abierto en las matemáticas de los mosaicos:
Es decir, pensó que podría haber descubierto un «einstein«.
En términos poéticos, un einstein es una «mononota aperiódico», una forma que corta una planta, o una superficie plana bidimensional infinita, pero sólo en un patrón no repetitivo.
(El término «einstein» viene del alemán «ein stein», o «una piedra» – más vagamente, «una baldosa» o «una forma»).
El típico papel pintado o suelo de baldosas forma parte de un patrón infinito que se repite periódicamente; cuando se desplaza, o «traslada», el patrón puede superponerse exactamente sobrio sí mismo.
An embaldosado aperiódico no presenta esta «simetría traslacional»y los matematicos llevan mucho tiempo buscando una forma unica que pueda embaldosar el plano de esta manera.
Es lo que se conoce como el problema de Einstein.
«Siempre estoy jugando y experimentando con formas», dice Smith, de 64 años, quien trabajaba como imprenta técnica, entre otros empleos, allí anticipadamente jubiloso.
Aunque le gustaban las matemáticas en el secundario, no destacaba en ellas, dice.
Pero el problema de Einstein le «intriga obsesivamente» desde hace mucho tiempo.
Y ahora un nuevo artículo -de Smith y tres coautores con experiencia matemática y computacional- demuestra que el descubrimiento de Smith es cierto.
Los investigadores llamaron a su einstein «el sombrero», porque se adorne a sombrero de fieltro.
(Smith suele llevar un pañuelo atado a la cabeza.)
El artículo aún no ha sido revisado.
«Parece ser un descubrimiento extraordinario». dijo en un correo electrónico Joshua Socolar, médico de la Universidad de Duke que leyó una primera copia del artículo facilitado por Los New York Times.
«Para mí, el aspecto más significativo es que el mosaico no claramente entra en ninguna de las clases familiares de estructuras que tendremos».
«El resultado matemático planta algunas cuestiones interesantes de física», añadió.
«Uno podría imaginarse o fabricar un material con este tipo de estructura interna».
Socolar y Joan Taylor, investigadora independiente de Burnie (Tasmania), encontraron anteriormente un monotilo hexagonal heco de piezas desconectadas, lo que, según algunos, estiraba las reglas.
(También encontramos una versión 3D conectada del mosaico Socolar-Taylor).
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De 20.426 a 1
Al principio, la búsqueda de mosaicos matemáticos estaba motivada por una pregunta general:
¿Existe un conjunto de formas que podrían embaldosar el plano sólo de forma no periódica?
En 1961, el material hao wang conjecturó que tales conjuntos eran imposibles, pero su alumno Robert Berger pronto sobrevino que la conjetura era fallida.
Berger describe un grupo aperiódico de 20.426 baldosas y, posteriormente, un grupo de 104 baldosas.
A partir de entonces, la cuestión será:
¿cuántas fichas serían necesarias?
En los 70 años, señor roger penrosematemático físico de la Universidad de Oxford que ganó el Premio Nobel de Física en 2020 por sus investigaciones sobre los agujeros negros, redujo el número una espalda
Desde entonces, otros han dado con formas para dos fichas.
«Yo también tengo un par o dos», dijo Chaim Goodman-Strauss, otro de los autores del artículo, profesor de la Universidad de Arkansas, que también ostenta el título de matemático divulgador en el Museo Nacional de Matemáticas de Nueva York.
Señaló que los cuadrados blancos y negros también pueden formar extraños patrones no periódicos, además del conocido patrón periódico del tablero de ajedrez.
«En realidad, es bastante trivial poder crear patrones extraños e interesantes», afirmó.
La magia de los dos azulejos de Penrose es que sólo pueden formar patrones no periódicos.
«Pero entonces el Santo Grial era, ¿se podía hacer con una – una baldosa?». dijo Goodman-Strauss.
Hace tan sólo unos años, Sir Roger perseguía a einstein, pero dejó de lado esa exploración.
«Conseguí reducir el número a dos, ¡y ahora lo hemos reducido a uno!», dijo refiriéndose al sombrero.
«Es un logro. No veo ninguna razón para no creerlo».
El artículo propuesto dos pruebas, ejecutadas por Joseph Myers, coautor y desarrollador de software en Cambridge (Inglaterra).
Una era una prueba tradicional, basada en un método anterior, pero con un código personalizado;
la otra desplegó una nueva técnica, no asistida por computadora, ideada por Myers.
Sir Roger encontró las pruebas «muy complicadas».
No obstante, se mostró «extremadamente intrigado» por el einstein, dijo:
«Es una forma realmente buena, sorprendentemente sencilla».
jugueteo imaginativo
La sencillez llegó de forma honesta.
Las investigaciones de Smith son principalmente a mano; uno de sus coautores lo describió como un «juguetón imaginativo».
Para empezar, «jugueteaba» en la pantalla de la computadora con PolyForm solucionador de rompecabezasun programa desarrollado por Jaap Scherphuis, un entusiasta de los mosaicos y teórico de los rompecabezas de Delft (Países Bajos).
Pero si se trataba de una formación de tena potencial, Smith usó una máquina Silhouette corta para producir un paquete de cartilla de 32 copias en cartón.
Luego encajaba los azulejos, sin huecos ni solapamientos, como un rompecabezas, reflejando y girando los azulejos según fuera necesario.
«Siempre es agradable ponerse manos a la obra», dijo Smith.
«Puede ser muy meditativo. Y permite comprender mejor cómo se tesela o no una forma».
Cuando en noviembre encontró una baldosa que parecía llena el plano sin un patrón repetitivo, envió un correo electrónico a Craig Kaplan, coautor e informático de la Universidad de Waterloo.
«¿Podría ser esta forma una respuesta al llamado ‘problema de Einstein’?». escribe Smith.
«Estaba claro que ocurría algo inusual con esta forma», afirmó Kaplan.
Con un enfoque basado en computadora en investigaciones previas, su algoritmo generó franjas cada vez más grandes de tejas de sombrero.
«No parecía haber ningún límite para el tamaño de los mosaicos que podía construir el programa», afirma.
Con estos datos en bruto, Smith y Kaplan estudiaron a ojo la estructura jerárquica de los mosaicos.
Kaplan detectó y describió una coportamiento revelador que abrio la puerta a una prueba de aperiódico tradicional, el método que los matemáticos «sacan el cajón cada vez que tienen un conjunto candidato de baldosas aperiódicas», dijo.
El primer paso, según Kaplan, fue «para definir un conjunto de cuatro ‘metátiles’, formas simples que representan pequeñas agrupaciones de uno, dos o cuatro sombreros».
Los metatiles se ensamblan en cuatro formas mayores que se comportan de manera similar.
Este ensamblaje, de metatiles a supertiles ya supersupertiles, ad infinitum, cubrió «» pisos » matemáticos cada vez más grandes con copias del sombrero», dijo Kaplan.
«Luego demostramos que este tipo de ensamblaje jerárquico es suficiente la única manera de embaldosar el plano con sombreros, lo que resulta ser suficiente para demostrar que nunca se puede embaldosar periódicamente».
“Es muy ingenioso”, dijo en una entrevista Berger, jubiloso ingeniero eléctrico en Lexington (Massachusetts).
A riesgo de parecer quisquilloso, dije que, dado que el embaldosado del sombrero utiliza reflejos -la baldosa con forma de sombrero y su imagen en el espejo-, algunos podrían preguntarse si se trata de un conjunto de dos baldosas, y no de una, de monotilos aperiódicos.
Goodman-Strauss plantó una sutileza en un listserv de azulejos:
«¿Hay un sombrero o dos?»
El consenso fue que un monotilo cuenta como tal incluso usando su reflejo.
Eso ya una pregunta abierta, dijo Berger:
¿Existe un einstein que haga el trabajo sin reflexión?
Esconderse en los hexágonos
Kaplan explica que «el sombrero» no es un nuevo invento geométrico.
Se trata de un polígono formado por ocho cometas.
(Tome un hexágono y dibuje tres líneas, conectando el centro de cada lado con el centro de su lado opuesto; las seis formas resultan son cometas).
«Es probable que otros hayan contemplado esta formado de sombrero en el pasado, sólo que no en un contexto en el que procedieran a investigar sus propiedades como mosaico», afirmó Kaplan.
«Me gusta pensar que estaba Escondida a plena vista«.
Marjorie Senechal, matemática de Smith College, dijo:
«En cierto sentido, ha estado ahí todo este tiempo, esperando a que alguien la encuentre».
La investigación de Senechal exploró el reino vecino de los Cristalografía matemática y sus conexiones con los cuasicristales.
«Lo que más me sorprende es que este mosaico aperiódico está colocado sobre una rejilla hexagonal, que es lo más periódico que se puede ser», afirmó Doris Schattschneider, matemática de la Universidad de Moravia, cuya investigación se centra en el análisis matemático de mosaicos publicaciones periódicas, en particular los del artista holandés MC Escher.
Senechal está de acuerdo.
«Está justo en los hexágonos», afirma.
«¿Cuánta gente se va a estar pateando el mundo preguntándose por qué no vi eso?».
La familia Einstein
Increíblemente, Smith se encontró más tarde con un segundo Einstein.
Lo llamó «la tortuga», un poliqueto formado no por ocho cometas, sino por diez.
Período asombroso, dijo Kaplan.
Recordó que sintió pánico; ya estaba «metido hasta el cuello en el sombrero».
Pero Myers, que había hecho cálculos similares, descubrió enseguida una profunda conexión entre el sombrero y la tortuga.
Y discernió que, de hecho, había toda una familia de einsteins emparentados:
una infinidad continuada e incontable de formas que transforman unas en otras.
A Smith no le impresionaron tanto otros miembros de la familia.
«Parecían un poco de impostores o mutantes», dice.
Pero esta familia de Einstein motivó la segunda prueba, que ofrece una nueva herramienta para demostrar la aperiodicidad.
Las matemáticas parecían «demasiado buenas para ser verdad», afirmó Myers en un correo electrónico.
«No se esperaba un enfoque diferente tan para demostrar la aperiodicidad, pero todo parecía encajar a medida que escribía los detalles».
Goodman-Strauss consideró que la nueva técnica es un aspecto crucial del descubrimiento; hasta la fecha, sólo había un puñado de pruebas de aperiodicidad.
Admitió que se trataba de un «queso fuerte», quizá sólo para oír empedernidos.
Tardó a un par de días en procesarlo.
«Luego me quedé atónito», dice.
Smith se cayó al darse cuenta del trabajo de investigación.
«No hay fuga de ayuda, la verdad».
Apreció las ilustraciones, dijo: «Soy más de imágenes».
circa 2023 Sociedad del New York Times
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