¿Cuántos números reales hay? | Café y teoremas

El matemático ruso Georg Cantor.
El matemático ruso Georg Cantor.Imágenes falsas

Aunque pueda parecer extraño, existen diferentes tamaños de infinito. De hecho, existe una larga jerarquía de infinitos, cada uno más grande que el anterior. El infinito más pequeño se llama alef_0 y es de tamaño -o cardenal– de la colección de todos los números naturales: 0, 1, 2,…. El siguiente tamaño de infinito se llama alef_1, el siguiente alef_2, luego viene alef_3 … y así sucesivamente. A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor demostró que el cardinal del conjunto de números reales, que son todos los que aparecen en la línea real, es estrictamente mayor que alef_0. Pero, ¿cuántos números reales hay? Alef_1, alef_2, alef_3,….?

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Cantor eligió la respuesta más simple y asumió que la respuesta era alef_1, es decir, el siguiente tamaño de infinito más un poquito luego los números naturales. Esta afirmación se conoce como la “hipótesis del continuo” (HC) y hasta su muerte en 1918, Cantor estaba obsesionado con probarla. En 1900, David Hilbert también incluyó este problema como el primero de su lista conocida de problemas para el nuevo siglo. Se necesitaron varias décadas para obtener el primer resultado significativo.

El campo de las matemáticas que estudia estas cuestiones es la teoría de conjuntos, inventada – o descubierta – por Cantor a finales del siglo XIX y un poco más tarde, formalizada por una teoría axiomática llamada ZFC; Z para Ernst Zermelo, F para Abraham Fraenkel y C para el axioma de elección (axioma de elección, en inglés). Durante un siglo, la teoría ZFC ha proporcionado una base sólida y simple (los únicos ingredientes son conjuntos y sus elementos, que también son conjuntos) para construir matemáticas.

No solo podemos probar la existencia de diferentes dimensiones del infinito y compararlas, sino también que, para cualquier conjunto X, su cardinal siempre existe, representado por la expresión | X |

Trabajando sobre esta teoría, es posible modelar o construir la mayoría de los objetos que habitan las matemáticas, así como probar la mayoría de los teoremas que aparecen en los distintos campos de esta disciplina. En particular, no solo podemos demostrar la existencia de diferentes dimensiones del infinito y compararlas, sino también que para cada conjunto X siempre hay un cardinal representado por la expresión | X |.

En 1938, Kurt Gödel demostró que si la teoría de ZFC es consistente, es decir, si no es posible contradecir los axiomas de ZFC, entonces la teoría obtenida al agregar HC como axioma de ZFC también es consistente. Este resultado parece sugerir que si se prueba la secuencia de la teoría ZFC, entonces sabríamos que la hipótesis del continuo es verdadera, pero no lo es. Lo que realmente dice es que si la teoría CFZ es consistente, entonces no es posible probar la inexactitud de la hipótesis para el continuo con ella.

Por otro lado, en 1963, Paul Cohen demostró que si la teoría ZFC es consistente, existen otras teorías en las que el cardinal del continuo (denotado por | R |) asume valores distintos de alef_1. Para obtener este resultado, por el que recibió la Medalla Fields en 1966, Cohen inventó el método de coerción. Esta es una técnica muy común mediante la cual el universo, METROen el que se satisface la teoría ZFC – cuya existencia equivale a demostrar la secuencia ZFC – es posible construir un universo mínimo METRO[g] que también corresponde a la teoría ZFC y contiene todos los objetos de METROasí como un nuevo sitio gramo.

Para dar una idea de cómo funciona este método, supongamos que el elemento que queremos agregar METRO es una secuencia infinita compuesta de ceros y unos. Esta secuencia debe ser diferente de todo lo que contiene METRO. Más específicamente, esta secuencia evitará cualquier patrón particular en METRO. Por ejemplo, el llamado Real Cohen M son secuencias de este tipo.

Aunque proporciona la base estándar para las matemáticas, la teoría de ZFC es demasiado débil para determinar exactamente qué tan reales son. ¿Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matemático?

Cohen realmente continúa METRO se definen utilizando el concepto de un conjunto denso de secuencias. Si tenemos un kit mi de sucesiones finitas, decimos que D es denso si cualquier secuencia finita de ceros y unos puede extenderse a una más larga que esté en mi. Por ejemplo, un conjunto de secuencias que son distintas de cero en una posición es denso, ya que cada secuencia se puede extender a una de este tipo simplemente agregando una en su posición final. Bueno, verdadero Cohen METRO es un legado ° C que satisface que cualquier conjunto denso METRO contiene algún segmento inicial de ° C. Puede resultar que no exista un Cohen real para METRO pertenece a METRO y que también hay un modelo mínimo METRO[c] que corresponde a ZFC.

Siguiendo este método, es posible agregar no una sino muchas realidades de Cohen y diseñar un universo ZFC en el que | R | = alef_2, o | R | = alef_3, alef_4 … se verifican, por lo tanto, si ZFC es una teoría consistente, también lo serán las teorías en las que el enunciado que | R | = alef_2, | R | = alef_3 o | R | = alef_4 … se agrega a ZFC y en todos ellos HC es incorrecto. Así, al unir este teorema al de Gödel, sabemos que si la teoría ZFC es consistente, no nos permite demostrar que la hipótesis del continuo sea verdadera o falsa.

Por lo tanto, aunque proporciona la base estándar para las matemáticas, la teoría de ZFC es demasiado débil para determinar exactamente cuántas realidades existen. ¿Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matemático? Como veremos en un artículo futuro, este no es necesariamente el caso.

David Aspero es un “profesor asociado” en Universidad de East Anglia (Gran Bretaña).

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y teoremas es un apartado dedicado a las matemáticas y el entorno en el que se creó, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en el que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otros ámbitos sociales y expresiones culturales y recordemos a quienes notaron su desarrollo y supieron convertir el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rainy: “El matemático es una máquina que convierte el café en teoremas”.

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